数字逻辑基础
本文共--字 阅读约--分钟 | 浏览: -- Last Updated: 2021-04-18
逻辑代数与逻辑门
逻辑代数的运算与逻辑电路
1、逻辑“与”关系
当决定一事件结果的所有条件都满足时，结果才发生，这种条件和结果的关系称为逻辑“与”(AND)或者逻辑“乘”，在逻辑代数中称为 与运算。
具有逻辑与功能的电路及逻辑门符号如下：
与运算的逻辑表达式：Y = A·B 或 Y = AB，实现与逻辑的电路称为 与门。
2、逻辑“或”关系
当决定一事件结果的所有条件中，只要有一个或一个以上满足时结果就发生，这种条件和结果的关系称为逻辑“或”(OR)或者逻辑“加”，在逻辑代数中称为 或运算。
具有逻辑或功能的电路及逻辑门符号如下：
与运算的逻辑表达式：Y = A+B，实现或逻辑的电路称为 或门。
3、逻辑“非”关系
当决定一事件的条件不具备时，这件事件才会发生，这样的逻辑关系称为逻辑“非”关系。
具有逻辑“非”功能的电路及逻辑门符号如下：
非运算的逻辑表达式：Y = A，实现非逻辑的电路称为 非门。
4、常用的复合逻辑运算
除了与、或、非三种基本逻辑运算之外，经常用到的还有基于这三种基本运算构成的一些复合运算。分别是：
- 与非，先与后非，Y = A·B
- 或非，先或后非，Y = A+B
- 异或，Y = A ⊕ B
逻辑代数的运算法则
（1）基础
A + 0 = A， A + 1 = 1，A + A = 1
A · 0 = 0， A · 1 = A，A · A = 0
（2）重复律
A · A = A， A + A = A
（3）吸收律
A + A · B = A， A · (A + B) = A
（4）分配律
A · ( B + C) = A · B + A · C， A + B · C = (A + B) · (A + C)
（5）交换律
A + B = B + A， A · B = B · A
（6）结合律
(A + B) + C = A + (B + C)， (A · B) · C = A · (B · C)
（7）反演律
A · B · C · … = A + B + C + …， A + B + C · … = A · B · C · …
组合逻辑电路
全加器
在数字系统中，减法、乘法和除法的核心都是加法运算，因此加法器是计算机的算术运算电路中的基本单元，其内部主要有 n 个全加器构成，全加器是实现两个一位二进制数相加的一种组合逻辑电路。
| 输入 | 输出 | |||
|---|---|---|---|---|
| Ci-1 | Ai | Bi | Si | Ci |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
说明：
输入端有Ci-1、Ai、Bi
- Ci-1：前一次运算是否有进位，有进位则为1，无进位则为0。
- Ai：被加数
- Bi：加数
输出端有Si、Ci
- Si：输出结果
- Ci：本次输出是否有进位
译码器
译码器的功能就是简版指定的数码翻译为相应的状态输出，使其输出端中有相应的一路有信号输出。例如，一个3位的二进制数码可有8个状态，即000、001、010、011、100、101、110、111，因此有8条相应的输出线。
如图，只有 CBA = 000 的时候，Y0 端才输出有效的低电位，CBA = 111 时，Y7输出端为低电位，其余均为高电位。图中标注示例 CBA = 011 时， Y3 端输出有效的低电位。
数据选择器
数据选择器又称多路开观 (Multiplexer/Selector, Mux)，它是以“与或门”或 “与或非门” 为主的逻辑电路，其作用是在选择信号的作用下，从多个输入通道中选择一个通道的数据作为输出，相当于一个具有多个输入端的单刀多掷开关。
工作原理是：给A、B一组信号，比如 1 0，那么就相当于给了它一个二进制数字10，也就是相当于选通了X2 这个输入端，输出Y输出的就是X2的信号，X2是什么，Y就输出什么。
输出表如下：
| 控制 | 选择的输出源 | |
|---|---|---|
| A | B | Y |
| 0 | 0 | X0 |
| 0 | 1 | X1 |
| 1 | 0 | X2 |
| 1 | 1 | X3 |
常用时序电路
触发器
触发器是计算机中广泛应用的能够记忆1位二进制信号的基本逻辑单元电路，它具有两个能自行保持的稳定状态，用来表示逻辑1和0（或二进制数的1和0），在任何时刻，触发器只处于一种稳定的状态，在接收到触发信号时，可由一种状态翻转到另一种状态。
1、基本RS寄存器
基本RS触发器具有“置0”、“置1”和“保持”三种功能，通常 S 为“置1”端，因为当 S = 0时，触发器被置1；R 置0端，因为 R = 0 的时候触发器被置0；当 S = R = 1时，触发器保持。基本RS触发器也可以用两个“或非门”组成，此时为高电平有效置位触发器。
如图，也可以使用两个“与非门”组成基本RS触发器，输入端 S、R 接逻辑开关的输出口，输出端 Q、Q 接逻辑电平显示灯输入接口，按表实验的要求测试并记录。
2、D触发器
D触发器的状态方程是：Qn+1 = D，其中状态的更新发生在CP脉冲的边沿，74LS74(CC4013)、74LS175(CC4042) 等均为上升沿触发，故又称之为上升沿触发的边沿触发器，触发器的状态只取决于时钟到来前D端的状态。D触发器应用很广，可用做数字信号的寄存、移位寄存、分频和波形发生器等。
寄存器
计算机中的许多部件都需要有能够暂时寄存数据的部件，而寄存器就是这样的部件，它具有接受信息、存放信息或传递信息的功能，寄存器主要由触发器和一些控制门构成，由于一个触发器只能存放1位二进制信息，那么存放n位二进制信息的寄存器就需要n个触发器来构成。一个触发器就是一个一位寄存器，由多个触发器可以组成一个多位寄存器，寄存器由于在计算机中的作用之不同具有不同的功能，从而被命名为不同的名称。
常见的寄存器有：
- 缓冲寄存器：用于暂存数据。
- 移位寄存器：能够将其所存的数据一位一位地向左或向右移。
- 计数器：一个技术脉冲到达时，会按二进制数的规律累计脉冲数；
- 累加器：用于暂存每次在 ALU(arithmetic and logic unit, 算术逻辑单位) 中计算的中间结果。
计数器
实现计数功能的电路称为计数器，其作用是记忆输入脉冲的个数。计数器是一种时序逻辑电路，其应用十分广泛，可用于定时、分频、进行数字运算等。
计数器也是由若干个触发器组成的寄存器，它的特点是能够把存储在其中的数字加1。
计数器分为下面几种：
- 按构成计数器的触发器的翻转次序分类，可分为异步计数器和同步计数器。
- 按计数过程中计数器中数字的增减来分类，可分为加法计数器、减法计数器和可逆计数器。
- 按计数器中数字的编码方式来分类，可分为二进制计数器和十进制计数器。